Née à Stockholm, Anna est la fille d’un architecte très réputé en Suède ; sa famille est le centre d’un cénacle d’artistes et d’intellectuels qui attire les artistes étrangers. Elle part faire ses études à Paris, puis épouse Ferdinand Boberg, un architecte renommé en Europe. Ils voyagent alors en Europe, en Afrique et en Asie.
Boberg commence sa carrière en dessinant des motifs pour des céramiques et des vitraux décoratifs. C’est au cours d’un voyage en Laponie qu’elle a une sorte de révélation en découvrant ces paysages sublimes, les villages pittoresques et la dureté du labeur des pêcheurs. Trois ou quatre fois par an, elle vient peindre à Lofoten : elle y affronte le froid, les intempéries marines lorsqu’elle mène son propre bateau pour suivre les pêcheurs et accepte des conditions de vie rudimentaires. Boberg devient une célèbre paysagiste, spécialiste de marines, la seule à peindre ces lieux si écartés. Chaque été, le couple s’isole dans la montagne pour travailler dans une symbiose totale avec la nature.
Boberg expose à Stockholm et à Paris.